Johannes Kepler: Las leyes del movimiento planetario

En la interacción entre observación cuantitativa y construcción teórica que caracteriza el desarrollo de la ciencia moderna, hemos visto que Brahe dominaba la primera pero era deficiente en la segunda. El siguiente gran avance en la historia de la astroomía fue la intuición teórica de Johannes Kepler (1571-1630), un alemán que fue a Praga para convertirse en ayudante de Brahe.

Los datos de Brahe y Kepler

Kepler y Brahe no se llevaban bien. Al parecer, Brahe desconfiaba de Kepler, pues temía que su joven y brillante ayudante pudiera eclipsarle como primer astónomo de su época. Por ello, sólo dejó que Kepler viera una parte de sus voluminosos datos.

Encargó a Kepler la tarea de comprender la órbita del planeta Marte, que resultó especialmente problemática. Se cree que parte de la motivación para dar el problema de Marte a Kepler fue que era difícil, y Brahe esperaba que ocupara a Kepler mientras Brahe trabajaba en su teoría del Sistema Solar. En una ironía suprema, fueron precisamente los datos marcianos los que permitieron a Kepler formular las leyes correctas del movimiento planetario, alcanzando así con el tiempo un lugar en el desarrollo de la astronomía muy superior al de Brahe.

Kepler y las órbitas elípticas

A diferencia de Brahe, Kepler creía firmemente en el sistema copernicano. En retrospectiva, la razón por la que la órbita de Marte era particularmente difícil era que Copérnico había situado correctamente el Sol en el centro del Sistema Solar, pero se había equivocado al suponer que las órbitas de los planetas eran círculos. Así, en la teoría copernicana seguían siendo necesarios los epiciclos para explicar los detalles del movimiento planetario.

Le correspondió a Kepler proporcionar la pieza final del rompecabezas: tras una larga lucha, en la que trató por todos los medios de evitar su conclusión final, Kepler se vio obligado finalmente a darse cuenta de que las órbitas de los planetas no eran los círculos exigidos por Aristóteles y asumidos implícitamente por Copérnico, sino que eran los "círculos achatados" que los geómetras llaman elipses (véase la figura adyacente; las órbitas planetarias son sólo ligeramente elípticas y no son tan achatadas como en este ejemplo).

La ironía antes señalada reside en la constatación de que las dificultades con la órbita marciana derivan precisamente del hecho de que la órbita de Marte era la más elíptica de los planetas para los que Brahe disponía de amplios datos. De este modo, Brahe había proporcionado a Kepler, sin saberlo, la parte de sus datos que le permitiría formular la teoría correcta del Sistema Solar y, por tanto, ¡desterrar la teoría de Brahe!

Algunas propiedades de las elipses

Puesto que las órbitas de los planetas son elipses, repasemos algunas propiedades básicas de las elipses.

1. En una elipse hay dos puntos llamados focos, de modo que la suma de las distancias a los focos desde cualquier punto de la elipse es una constante. En términos del diagrama mostrado a la izquierda, con "x" marcando la localización de los focos, tenemos la ecuación

a + b = constante

que define la elipse en función de las distancias a y b.

2. La cantidad de "aplanamiento" de la elipse se denomina excentricidad. Así, en la figura siguiente las elipses se hacen más excéntricas de izquierda a derecha. Un círculo puede considerarse un caso especial de elipse con excentricidad cero, mientras que, a medida que la elipse se aplana, la excentricidad se aproxima a uno.

Matemáticamente se define como la distancia entre los focos dividida por la longitud del eje mayor. Por tanto, todas las elipses tienen excentricidades comprendidas entre cero y uno.

Las órbitas de los planetas son elipses, pero las excentricidades son tan pequeñas en la mayoría de los planetas que parecen circulares a primera vista. En la mayoría de los planetas hay que medir cuidadosamente la geometría para determinar que no son círculos, sino elipses de pequeña excentricidad. Plutón y Mercurio son excepciones: sus órbitas son lo suficientemente excéntricas como para que se pueda ver por inspección que no son círculos.

3. El eje largo de la elipse se denomina eje mayor, mientras que el eje corto se denomina eje menor (figura adyacente). La mitad del eje mayor se denomina semieje mayor. La longitud de un semieje mayor suele denominarse tamaño de la elipse. Puede demostrarse que la separación media entre un planeta y el Sol a medida que recorre su órbita elíptica es igual a la longitud del semieje mayor. Por tanto, por "radio" de la órbita de un planeta se suele entender la longitud del semieje mayor. Para una investigación más detallada de las propiedades de las elipses, consulte este applet de elipses

Las leyes del movimiento planetario

Kepler obtuvo los datos de Brahe tras su muerte, a pesar de los intentos de la familia de Brahe de ocultárselos con la esperanza de obtener beneficios económicos. Hay indicios de que Kepler obtuvo los datos por medios poco legales; es una suerte para el desarrollo de la astronomía moderna que lo consiguiera. Utilizando los voluminosos y precisos datos de Brahe, Kepler pudo basarse en la constatación de que las órbitas de los planetas eran elipses para formular sus Tres Leyes del Movimiento Planetario.

Primera ley de Kepler:

La Primera Ley de Kepler se ilustra en la imagen superior. El Sol no está en el centro de la elipse, sino en un foco (generalmente no hay nada en el otro foco de la elipse). El planeta sigue la elipse en su órbita, lo que significa que la distancia Tierra-Sol cambia constantemente a medida que el planeta recorre su órbita. A efectos ilustrativos, hemos mostrado la órbita como bastante excéntrica; recuerde que las órbitas reales son mucho menos excéntricas que ésta.

Segunda ley de Kepler:

La segunda ley de Kepler se ilustra en la figura anterior. La línea que une el Sol y el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales, por lo que el planeta se mueve más rápido cuando está más cerca del Sol. Así, un planeta ejecuta un movimiento elíptico con una velocidad angular que cambia constantemente a medida que se desplaza por su órbita. El punto de mayor aproximación del planeta al Sol se denomina perihelio; el punto de mayor separación, afelio. Por tanto, según la segunda ley de Kepler, el planeta se mueve más rápido cuando está cerca del perihelio y más lento cuando está cerca del afelio.

Tercera ley de Kepler:

En esta ecuación P representa el período de revolución (órbita) de un planeta alrededor del sol y R representa la longitud de su semieje mayor. Los subíndices "1" y "2" distinguen las cantidades correspondientes a los planetas 1 y 2, respectivamente. Se supone que los periodos de los dos planetas están en las mismas unidades de tiempo y que las longitudes de los semiejes mayores de los dos planetas están en las mismas unidades de distancia.

La Tercera Ley de Kepler implica que el periodo de un planeta en órbita alrededor del Sol aumenta rápidamente con el radio de su órbita. Así, Mercurio, el planeta más interior, tarda sólo 88 días en orbitar alrededor del Sol, pero el planeta más exterior (Plutón) necesita 248 años para hacer lo mismo.

He aquí un applet java que permite investigar las leyes de Kepler, y He aquí una animación que ilustra los periodos relativos reales de los planetas interiores.

Cálculos con la tercera ley de Kepler

Una unidad de medida conveniente para los periodos es en años terrestres, y una unidad de medida conveniente para las distancias es la separación media de la Tierra respecto al Sol, que se denomina unidad astronómica y se abrevia como UA. Si se utilizan estas unidades en la 3ª Ley de Kepler, los denominadores de la ecuación anterior son numéricamente iguales a la unidad y puede escribirse de la forma simple

Esta ecuación puede resolverse para el período P del planeta, dada la longitud del semieje mayor,

o para la longitud del semieje mayor, dado el período del planeta,

Como ejemplo de aplicación de la 3ª Ley de Kepler, calculemos el "radio" de la órbita de Marte (es decir, la longitud del semieje mayor de la órbita) a partir del período orbital. Se observa que el tiempo que tarda Marte en orbitar alrededor del Sol es de 1,88 años terrestres. Por tanto, según la 3ª Ley de Kepler, la longitud del semieje mayor de la órbita marciana es

que es exactamente la distancia media medida entre Marte y el Sol. Como segundo ejemplo, calculemos el periodo orbital de Plutón, dado que su separación media observada del Sol es de 39,44 unidades astronómicas. A partir de la 3ª Ley de Kepler

que es efectivamente el período orbital observado para el planeta Plutón.

Referencias complementarias

• Archivo de imágenes astronómicas del día
• Breve biografía de Kepler

Original article: www.pas.rochester.edu/~blackman/ast104/kepler11.html